Estadistica

Estadística es la ciencia que nos permite tomar decisiones optimas y racionales en casos de incertidumbre.
Se dice que es instrumental ya que por si sola no sirve, sino que tiene que ser aplicada.

Dentro de la estadística se pueden encontrar gráficos estadísticos. La finalidad de los gráficos estadísticos es que la información entre por los ojos. Los hay de muy diversos tipos, pero todos ellos resultan muy fácil de interpretar.
 Los gráficos estadísticos se clasifican en:

• Gráficos lineales: se usan habitualmente para representar serie cronológicas, cuando se tiene mas de siete categorías.  Se representan ciclos por ejemplo de enero a diciembre. Se construyen marcando cada valor de la serie de tiempo en el eje de las abscisas. La otra variable se representa en el eje de las ordenadas. Luego de consignados todos los puntos en el cuadrante del gráfico se procede a unirlos con una raya de tal modo que queda construida una linea quebrada que permite visualizar el seguimiento de una variable a lo largo del tiempo.

• Gráficos de barra: Se usa cuando se pretende resaltar la representación de porcentajes de datos que componen un total. Una gráfica de barras contiene barras verticales que representan valores numéricos, generalmente usando una hoja de cálculo. Las gráficas de barras son una manera de representar frecuencias; las frecuencias están asociadas con categorías. Una gráfica de barras se presenta de dos maneras: horizontal o vertical. El objetivo es poner una barra de largo (alto si es horizontal) igual a la frecuencia. La gráfica de barras sirve para comparar y tener una representación gráfica de la diferencia de frecuencias o de intensidad de la característica numérica de interés.

                                                          Tipos de gráficos de barra

1. Gráficos de barras verticales: Los Gráficos de barras verticales representan valores usando trazos verticales, aislados o no unos de otros, según la  variable a gráficar sea discreta o continua. Pueden usarse para representar una o más series.

1. Gráficos de barras horizontales: Los Gráficos de barras horizontales representan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizan cuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos. Pueden usarse para representar una o más series.

1. Gráficos de barras proporcionales: Los Gráficos de barras  proporcionales se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos  que componen un total. Dichas barras pueden ser verticales u horizontales.

1. Gráficos de barras comparativas: Los Gráficos de barras comparativas son las mismas barras ya utilizadas que pueden utilizarse para comparar dos o más series, para comparar valores entre categorías.

1. Gráficos de barras apiladas: Los Gráficos de barras apiladas se usan para mostrar las relaciones  entre dos o más  series con el total. Las barras también pueden ser verticales u horizontales.

• Sectogramas:  Se usan para representar la distribución de frecuencias de una serie cuanti o cualitativa o para expresar porcentajes. El total de las observaciones o el 100 %  corresponden al total del circulo, y la frecuencia o porcentaje de cada clase se representa mediante el sector cuyo angulo central es proporcional a la magnitud de la clase. Se usa la regla de tres simples. Este gráfico se recomienda cuando se deseen representar pocas categorías.

• Pictogramas: Para este tipo de gráficos se selecciona un dibujo de manera que sugiera la naturaleza de los datos que se presentan. A esta figura se le asigna un valor en las unidades que esta representa y se repite tantas veces en el gráfico hasta alcanzar la magnitud del fenómeno. Al confeccionar estos gráficos se deben tener en cuenta que las cantidades mayores se indican por un numero mayor de símbolos, no por símbolos mas grandes.  

A continuación veremos una imagen que amplia un poco en tema: 

• Vídeo a modo de ayuda para una mejor comprensión del tema

Probabilidad

La probabilidad es una razón que parte del número 0 y llega hasta el número 1

• Se calcula con la fórmula:

         

 Donde A es un suceso o caso.                                                         

Veamos un ejemplo: 

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2 al lanzar un dado?

Para calcular la probabilidad solo debemos encontrar el número el casos posibles y el número de casos favorables.

Al lanzar un dado tenemos seis casos posibles (1-2-3-4-5-6). Y de estos solo tenemos cuatro números mayores a dos (3-4-5-6).  Por lo tanto el resultado es: 

 

                                            cuatro casos favorables

                                              Seis casos posibles

Otro ejemplo:

Un mecánico tiene en su maletín llaves planas de las medidas 9 al 17 mm inclusive. Necesita soltar una tuerca de 11 mm para una reparación. Si elige una de sus llaves al azar, ¿Cuál es la probabilidad que sea de la mediad exacta de la tuerca?

Al ver la figura nos damos cuenta de que hay 9 llaves y solo 1 es de 11 mm.

Por lo tanto casos favorables: 1 y casos posibles: 9

El resultado es:

A continuación dejare ejercicios: 

•  En un edificio de cinco pisos, hay tres departamentos por piso, y se quiere formar una comisión de tres propietarios.

          Si se decide elegir al azar, 

1. ¿Cual es la probabilidad de que los tres elegidos sean de la planta baja?
2. ¿Y de que sean del mismo piso?

• En un curso de 20 chicos, la mitad estudia ingles, 6 estudian francés y 2 estudian ambos idiomas. Si se elige un alumno al azar y resulta ser estudiante de francés.  

1. ¿Cual es la probabilidad de que también estudie ingles?

Como herramienta: 

                           

Trigonometria

TRIGONOMÉTRIA

Es literalmente el estudio de las relaciones existentes entre todas las medidas (de lados y ángulos) de un triángulo. 

Sistema de medición de ángulos
  Para medir ángulos se pueden usar distintos sistemas de medición. Podemos diferenciar tres:

• Sistema sexagesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal, que se obtiene de dividir el angulo recto en 90 partes iguales   1º= 1R / 90 = 1R = 90º . Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto y el segundo  1º= 60`min  1`min = 60``seg: 1º= 3600``seg.   

• Sistema centesimal: la unidad de medida es el grado centesimal, se obtiene de dividir el angulo recto en 100 partes iguales. 1g= 1R/ 100 = 1R : 100g ... 1g= 100m : 1m : 100s = 1g: 10000s

• Sistema circular: la unidad de medida es el radian. Se llama radian al angulo que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio de la misma.   

Razones trigonométricas; 

• Seno   

  El seno del angulo B es la razón entre el cateto opuesto al angulo y la hipotenusa.

                            

• Coseno 

  El coseno del angulo B es la razón entre el cateto contiguo al angulo y la hipotenusa.

                           

• Tangente 

  La tangente del angulo B es la razon entre el cateto opuesto al angulo y el cateto contiguo al angulo.    

                           

• Tabla de razones trigonométricas 

• Para una mejor comprensión: 

Ecuaciones e inecuaciones con modulo

Modulo de un número real
El modulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real.

Propiedades 

• /x/ ≥ 0 ---->  Ejemplo: / -6, 5/ : 6,5
• /x/: /-x/ ----> Ejemplo: / 0,02/: / -0,02/ : 0,02
• /x + y/ ≤ /x/ + / y/ ---> Ejemplo:   / 8+ 4,1/  ≤  /8/ + /4,1/

                                                               /12,1/  ≤  8 + 4,1
                                                                 12,1  ≤  12,1

• /x - y/ : /x/./y/----> Ejemplo: /6.(-5)/: /6/./-5/
• /x/ > a ------> Ejemplo : (a> 0) ---( x> a) ---( x< -a)  -----------)----0----(-----------
•                                                                                          -a              a
• /x/< a ----> (a> 0) -->  -a< x < a       --------------(---0---)--------
•                                                                        -a        a

Ecuaciones e inecuaciones con modulo
Ejemplo:
                (3 + x) ^2 - 4 : 0
                (3 + x) ^2 : 4

   ( Propiedad simplificación     -------------->   √ (3+x)^2 : √4    <------- Se aplica raíz cuadrada
de radicales indice y exponente)                                                      en ambos términos
  (cancelamos la raíz y queda el modulo)--- > /3 +x/ : √4
                                                                                       /3+ x / : 2 -------> 3+x :-2        3+x: 2
                                                                                                                      x: -2 -3        x: 2 -3
                                                                                                                      x: -5            x: -1
                                                                                              

Funciones definidas por tramos lineales

La función modulo:

Se llama función modulo a aquella que cada elemento del dominio le hace corresponder su valor absoluto.

Su formula:

Funciones definidas por tramos lineales:

Es aquella cuyo dominio está dividido en intervalos disjuntos,de forma que en cada intervalo la función viene dada por expresiones matemáticas distintas.

• Para hacer una mejor comprensión podemos citar el siguiente video:

 

Ecuación de la recta

La ecuación de la recta se representa de la siguiente manera:  y: a x + b

• Ejemplo (-2 , -4) (1 ,  5) 

                x1  y1  x2   y2

Cualquier valor de "Y1 o Y2" puede reemplazar la Y en la ecuación. Lo mismo sucede con la X. 

    

Pendiente (a) : Y2 - Y1 / X2 - X1 : 5- (-4) / 1- (-2) : 9/3 : 3

• y:a x + b ---------------- 5: 3.1 + b

                                     5: 3 + b 

                                     5 - 3: b

                                     2: b ------------ y: 3x + 2

                                                         

Racionalización de denominadores

Racionalizar el denominar de una fracción es transformarlo en un numero racional, por lo tanto siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales se debe hallar una fracción equivalente a la dada, con denominador racional.

PRIMER CASO
En el denominador hay un único radical. Ejemplo:
 

SEGUNDO CASO

El denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de indice 2. Ejemplo:

    Para una mejor comprensión :    https://www.youtube.com/watch?v=fhvPTsTiiSU#

                                 

Radicales

La radicación es la operación inversa a la potenciación y se define así: 

                                                                      

                                                           

Es decir    porque  2^3 = 8

Las partes de un radical son

• √   signo radical 
• n es el indice
• a es el radicando 
• b es la raíz o solución de radical    ( la raíz es el numero que hay que elevar  

                                                                        indice para obtener el radicando)

                                 

                                 

Signo y numero de soluciones de un radical en el conjunto R

• Si el radical es de indice par y el radicando es negativo no existe solución. La √-4  sera igual a un numero x que desconocemos. Por definición de radical tendremos que x^2 = -4 y esto es imposible en el conjunto de los números reales.
• Si el radical es de indice par y el radicando positivo tiene dos raíces opuestas (iguales pero de distinto signo). √4=(+,-)2  porque  2^2=4 y  (-2)^2=4

Suma y resta de radicales:

Solo es posible una suma o resta de términos cuando los radicales son semejantes, es decir, cuando tienen igual indice e igual radicando. Ejemplo:

Multiplicación y división de radicales; 

La operatoria con radicales cumple las siguientes propiedades: 

• Propiedad distributiva de la multiplicación y la división respecto de la suma y la resta de igual indice: Ej: 

                                          √2 (√2 + √8) = √4 + √16 = 2 + 4 = 6                                                                                                                           

                                          (√75 - √27) = √3 = √25 - √9 = 5 - 3 = 2

• Cuadrado de un binomio. Ej: 

                                             (√3 - √5)^2 =      √3^2 -  2.√3. √5 +     √5^2    = 3 + 5 - 2√15

                                               1ª    2ª         (cuadrado  (doble de   (cuadrado
                                                                      del 1º)      1ºx2º)          del 2º)

• Diferencia de cuadrados. Ej:

                                                       (√8 + √3) (√8 - √3) =  √8^2 - √3^2 =8 - 3 = 5
                                                             expresiones
                                                             conjugadas